Gerade - Gerade

Es gibt vier Möglichkeiten wie zwei Geraden zueinander liegen;

1. identisch

2. parallel

3. schneiden

4. windschief

Die Richtungsvektoren sind kollinear

Liegt der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen ?

ja: identisch

nein: parallel

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear

Geraden gleichsetzen (LGS)

Hat das Gleichungssystem eine Lösung

Ja: schneiden sich

Nein: sind windschief

Ebene - Ebene

1. identisch

2. parallel

3. Schnittgerade (schneiden sich)

Die Normalenvektoren sind kollinear

Liegt der Ortsvektor der einen Ebene auf der anderen ?

Ja: identisch

Nein: parallel

ansonsten schneiden sie sich.

Per Gleichungssystem die Schnittgerade bestimmen

LGS:

1. keine Lösung : parallel

2. wahre Aussage 0 = 0 : identisch

3. unendlich viele Lösungen : schneiden sich

Ebene - Gerade

1. identisch

2. parallel

3. Durchstoßpunkt (schneiden sich)

1. Ebene in Koordinatenform bringen

2. Gerade in Koordinatenform einsetzten (komponentenweise)

   Ansonsten mit der Parameterform gleichsetzen

1. eine Lösung : Durchstoßpunkt

2. keine Lösung : parallel

3. unendlich viele Lösungen : identisch

Schnittwinkel

Gerade - Gerade

$\alpha =\arccos{ \dfrac{|\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}}$

Ebene - Ebene

$\alpha =\arccos{ \dfrac{|\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}}$

Gerade - Ebene

$\alpha =\arcsin{ \dfrac{|\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{n}|}}$