LGS Gauß

Ablauf

Mit dem Gauß Verfahren können lineare Gleichungssysteme gelöst werden

Beispiel:

I.   2x + 2y + 3z = 75
II.   x + 2y + 2z = 50
III.  x +  y + 2z = 40

1. Treppenstufen Bilden

I.   2x + 2y + 3z = 75
II.   x + 2y + 2z = 50 | * 2
III.  x +  y + 2z = 40 | * 2

I.   2x + 2y + 3z = 75
II.  2x + 4y + 4z = 100 | II  - I
III. 2x + 2y + 4z = 80  | III - I

I.   2x + 2y + 3z = 75
II.       2y +  z = 25 | II  - I
III.            z = 5  | III - I

2. Wert von z in II einsetzen um y zu bestimmen

II. 2y + 5 = 25 | - 5
<=>     2y = 20 | / 2
<=>      y = 10

3. Werte von y und z in I einsetzen um x zu bestimmen

I.  2x + 20 + 15 = 75
<=>      2x + 35 = 75 | - 35
<=>           2x = 40 | / 2
<=>            x = 20

4. Lösungsmenge bilden

L = {20, 10, 5}

Mögliche Lösungsmengen

1. Eine Lösung

   Siehe Beispiel oben

2. Keine Lösung

   Wenn die Gleichungen einen Widerspruch aufweisen, heißt das, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat

   z.B.

   III. 1 = 0

   Die Aussage 1 = 0 ist nicht wahr und stellt somit einen Widerspruch dar

3. Unendliche Viele Lösungen

   z.B.

   III. 0 = 0

   Die Aussage 0 = 0 ist wahr, sie liefert jedoch keinen Hinweis auf das Ergebnis des Gleichungssystems. Deshalb bleiben nur noch 2 Gleichungen um 3 Variablen zu bestimmen und es gibt unendlich viele Lösungen